三阶反射公理是不一致的。不过我们可以换个方式定义α阶反射原理。

：扩展反射公理

如果v对era成立，那么存在一个zfc的模型v*(称之为v的延展)，满足

p是一阶公式，p(a)在v*中成立，a是v的子类，存在v上的序数α<β，

使得vβ?p(anvα)

至此，使用era，对于v*上的所有序数α，都可以描述v的α-反射。

＃生成（[sdfriedman，218]explainingmaximalitythroughthehyperuniverseprogramme

#-生成断言存在一种特殊的集合，叫做a#(sharp)，通过迭代“生成”v。一个最佳的反射原理产生了，因为这个迭代也为v产生了一个封闭的无界的不可知类，足以见证任何显然成立（v=l之内的反射原理。至关重要的是，生成v的#不能是v的一个元素，否则这种最优性就不可能实现。

首先，设想v可以被看作是一个初等宇宙链vki:i<ord的最后一步，我们设定v=vkord。我们可以继续构建这个“超越“v本身的链条，产生一个向上的初等宇宙链v=vkord?vkord+1?vkord+2?

即便允许v、ord这样的对象是完成的对象，可以使用，但让人难以理解的是“ord+1”、“vord之外”这样的概念。毕竟，除了它们没有良好的定义之外，我们还很难想象v之外的所谓“类似集合的对象”是什么样。

v是不可辨认生成的，如果：

“1有一个长度为ord的连续序列k<k1<，使得kord=ord，并且有换元初等嵌入πi，j:v→v，其中πi，j有临界点ki并sendskitokj”

“2对于任何i≤j，v的任何元素在v中都是可以被πi，j和{k?:i≤?<j}内的元素一阶定义。”

这等价于#-生成。以后也用#-生成来称呼该公理。

#-生成意味着所有与v=l兼容的反射形式。如果#存在，那么#-生成一致。因此，作者认为#-生成表达了最强的高度反射原理，因此可以合理地声称#-生成是表达v的高度最大化的最佳原则。

#-生成并不满足宽度完成主义：为了得到一个足以生成v的#-生成，我们必须要构造一个rank小于ord(v)的不属于v的集合。为了解决这个问题，引出了弱#-生成。

：内模型假设

—如果一个一阶句子在v的某个外模型中成立，那么它在v的某个内模型中也成立。—

在这个版本的表述中，我们可以把外模型理解为一个包含v的、与v的序数相同的、满足zfc的传递集合v*，内模型是指一个v的可定义子类，其序数与v相同，并且满足zfc。根据激进潜在主义，zfc的任何传递模型在更大的这类模型中是可数的，由此我们可以推断出v的丰富的外模型的存在。