极限序数与后继序数

α是极限序数，不存在β可以使β（加或乘或次方或……等等得出的＝α，即小于α的序数与α之间割裂开来，不存在一个α前面的序数。

现代人类数学的第一个强极限序数阿列夫，第二个强极限序数是+……

阿列夫是第一个强极限基数，而第二个强极限基数是不可达基数。

后继序数就是把极限序数的“不存在”变成存在。

接下的是复制的百度百科

暂时想不到用什么塞满这一章了。

zermelo集合论的公理

公理i。外延性公理(axiomderbestimmtheit)：“如果一个集合m的所有元素也是n的元素，反之亦然则m=n。简要的说，所有集合确定自它的元素”。

公理ii。基本集合公理(axiomderelementarmengen)：“存在(假想的)集合，空集合，它根本不包含元素。如果a是域的任何元素，存在一个集合{a}包含a并只包含a作为元素。如果a和b是域的任何两个元素，总是存在一个集合{a，b}包含a和b作为元素，而不包含不同于它们二者的对象x”。参见空集公理、对集公理。

公理iii。分离公理(axiomderaussonderung)：“只要命题函数–(x)对于一个集合m的所有元素是明确的，则m拥有一个子集m'精确的包含m的使–(x)为真的那些元素作为元素”。

公理iv。幂集公理(axiomderpotenzmenge)：“对于所有集合t都对应着一个集合t'，t的幂集，精确的包含t的所有子集作为元素”。

公理v。并集公理(axiomdervereinigung)：“对于所有集合t都对应着一个集合ut，t的并集，精确的包含t的元素们的所有元素作为元素”。

公理vi。选择公理(axiomderausahl)：“如果t是其元素都是不同于并且相互无交的集合们的集合，它的并集ut包含至少一个子集s1有一个且只有一个元素公共于t的每个元素”。

公理vii。无穷公理(axiomdesunendlichen)：“在域中存在至少一个集合z包含空集作为一个元素，并且对于它的每个元素a都对应着形如{a}的进一步元素而构成的，换句话说，对于它的每个元素a它也包含对应的集合{a}作为元素”

公认的标准集合论是zermelo-fraenkel集合论。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。(后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果a存在，a和a存在，所以{a，a}存在。通过外延性{a，a}={a}。)空集公理已经被无穷公理所假定，现在不被包括为它的一部分了。

这里的公理不包括正规公理和替代公理。它们是thoralfskolem在1922年基于同一年早些时候adolffraenkel的工作而增加的。

在现代zfc系统中，在分离公理中提及的“命题函数”被解释为“可用带有参数的一阶公式定义的任何性质”。“一阶公式”的概念在194年zermelo发表他的公理的时候是未知的，而他后来拒绝这种解释因为太受限制了。

在通常的zfc集合论的累积层次vα(对于序数α)中，对于大于第一个无限序数的极限序数α的集合vα之一形成了zermelo集合论的模型。所以zermelo集合论的相容性是zfc集合论的一个定理。zermelo的公理不允许很多无限基数的存在；例如，在zermelo集合论的模型v+中对于有限序数α只有无限基数。

无穷公理现在通常被修改为断言第一个无限冯·诺伊曼序数的存在性；有意思的是观察到最初的zermelo公理不能证明这个集合的存在，而修改后的zermelo公理也不能证明zermelo的无穷公理。zermelo的公理(最初的或修改后的)不能证明作为一个集合的存在性，也不能证明带有无限标定(index)的累积层次的任何阶的存在性。

康托尔定理(cantor'stheorem)：用p(x)记x的一切子集构成的集，用cardx表示x的势，则cardx